אורכים, זווית ושטח מרובע בקובייה – בגרות קיץ 2022 מועד א׳וקטורים 472 · שיעור 18
📄 נוסח השאלה
נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ (ראו ציור). הנקודות E ו־G הן אמצעי המקצועות AA′ ו־CC′ בהתאמה. הנקודה F מקיימת AF = 14AB. הנקודה H מקיימת D′H = 34D′C′. נסמן: AB = u , BC = v , AA′ = w.
א. (1) הביעו את הווקטורים EF , FG , HG ו־EH באמצעות u , v ו־w. (2) האם המרובע EFGH הוא מקבילית? נמקו. (פתרנו בשיעור 9)
הנפח של הקובייה הנתונה הוא 512.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. (1) מצאו את אורך המקצוע של הקובייה. (2) מצאו את אורכי הווקטורים EF ו־EH.
ג. (1) מצאו את גודל הזווית HEF. (2) מצאו את שטח המרובע EFGH.
סעיף ב – אורך המקצוע ואורכי הווקטורים
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 9):
סעיף א – הבעת הווקטורים ומקבילית: (1) EF = 14u − 12w , FG = 34u + v + 12w
HG = 14u − 12w , EH = 34u + v + 12w
(2) כן – EF = HG
סעיף א – הבעת הווקטורים ומקבילית: (1) EF = 14u − 12w , FG = 34u + v + 12w
HG = 14u − 12w , EH = 34u + v + 12w
(2) כן – EF = HG
V = a3
📐 נפח קובייה
נציב V = 512 (נתון):
a3 = 512
a = 8
📐 נפח קובייה
V = a3
סעיף ב – אורך המקצוע ואורכי הווקטורים · המשך
a = 8
(2) הווקטורים u , v , w מאונכים זה לזה ואורך כל אחד 8. 14 · 8 = 2 , 12 · 8 = 4 , 34 · 8 = 6:
|EF| = √((14|u|)2 + (12|w|)2)
📐 פיתגורס במרחב
נציב |u| = |w| = 8:
|EF| = √((14 · 8)2 + (12 · 8)2)
|EF| = √(22 + 42) = √20
📐 פיתגורס במרחב
|au + bv + cw|2 = a2|u|2 + b2|v|2 + c2|w|2
סעיף ב – אורך המקצוע ואורכי הווקטורים · המשך
|EF| = √(22 + 42) = √20
|EH| = √((34|u|)2 + |v|2 + (12|w|)2)
נציב |u| = |v| = |w| = 8:
|EH| = √((34 · 8)2 + 82 + (12 · 8)2)
|EH| = √(62 + 82 + 42)
|EH| = √116
סעיף ב – אורך המקצוע ואורכי הווקטורים · המשך
|EH| = √116
✅ פתרון סופי: (1) 8
(2) |EF| = √20 ≈ 4.47 , |EH| = √116 ≈ 10.77
(2) |EF| = √20 ≈ 4.47 , |EH| = √116 ≈ 10.77
סעיף ג – הזווית HEF ושטח המרובע
(1) מכפלה סקלרית (u·v = u·w = v·w = 0, |u|2 = 64):
EH·EF = (34u + v + 12w)·(14u − 12w)
📐 מכפלה סקלרית
פותחים סוגריים. המכפלות u·w , v·u , v·w שוות 0 כי הווקטורים מאונכים, ולכן נשארים רק:
EH·EF = 316u·u − 14w·w
נציב u·u = |u|2 = 64 , w·w = |w|2 = 64:
EH·EF = 316 · 64 − 14 · 64
📐 מכפלה סקלרית
a·b = |a|·|b|·cos(הזווית)
סעיף ג – הזווית HEF ושטח המרובע · המשך
EH·EF = 316 · 64 − 14 · 64
EH·EF = 12 − 16 = −4
cos∢HEF = EH·EF|EH| · |EF|
📐 זווית בין וקטורים
נציב EH·EF = −4 , |EH| = √116 , |EF| = √20:
cos∢HEF = −4√116 · √20
cos∢HEF = −4√2,320 ≈ −0.0830
📐 זווית בין וקטורים
cos(הזווית) = a·b|a|·|b|
סעיף ג – הזווית HEF ושטח המרובע · המשך
cos∢HEF = −4√2,320 ≈ −0.0830
∢HEF ≈ 94.76 מעלות
(2) שטח מקבילית = מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית ביניהן:
sin∢HEF = √(1 − cos2∢HEF)
נציב cos2∢HEF = 162,320:
sin∢HEF = √(1 − 162,320) = √2,3042,320
סעיף ג – הזווית HEF ושטח המרובע · המשך
sin∢HEF = √(1 − 162,320) = √2,3042,320
S = |EH| · |EF| · sin∢HEF
📐 שטח מקבילית
נציב |EH| = √116 , |EF| = √20 , sin∢HEF = √2,3042,320:
S = √116 · √20 · √2,3042,320
S = √2,304 = 48
✅ פתרון סופי: (1) ∢HEF ≈ 94.76 מעלות
(2) S = 48
(2) S = 48
📐 שטח מקבילית
S = a · b · sin(הזווית בין הצלעות)
📌 סיכום התשובות
סעיף ב
8
√20 , √116
√20 , √116
סעיף ג
94.76 מעלות
48
48
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא